{"text":[[{"start":5.67,"text":"近年来人工智能令人惊异的表现，让不少人认为，人工智能至少在思维的某些特定领域超越了人类。比如阿尔法围棋下出的棋着比李世石高明，致使它赢了后者，难道还用怀疑吗？那些进行人工智能开发的公司的名字也或明或暗地标榜“思考”，如DeepSeek——深度探索，DeepMind——深度思索，都作出“思考”状。然而也有人挑战说，人工智能真的会思考吗？阿尔法围棋真的是“想”出来的棋着吗？它理解它的决定是什么吗？好一个问题！这样一问，我们还真的一时说不出什么是“思考”。让我们慢慢想来。"}],[{"start":48.42,"text":"一、掰手指头算思考吗？"}],[{"start":51.15,"text":"从最简单的问题开始。比如，二加四等于多少，是否需要思考。如果计算二加四需要思考，那么一个小孩掰着手指算出等于“六”就是思考了。但是可能有很多人说这不是思考，这只不过是把直观的手指头数显现出来的结果说出来，这中间没有休谟所说的“推理”。那么，如果他不掰手指头，而是用学会的加法算出来，算是思考了吗？可能有的人认为，虽然可算思考，却也是非常初级的。如果问题不是“二加四”这么简单，而是234987654+473672929＝？是不是就算思考了，或就算较“高级”的思考了呢？如果仍掰手指头，理论上是可以，只是太慢了，按照一般人的看法，大概也不算思考；如果用加法，速度快多了，但也许还是“初级”的思考。对于更复杂的问题，人类发展出了各种算法，使得计算便利得多，速度也快得多。如对4+4+4+4+4+4+4+4+4=? 就无需用加法，而用乘法4×9＝36。马赫说，“科学的作用在于产生思维经济，正像机器产生劳力经济一样。”（马赫，2011，第31页）思维经济，即经济地思维。节约得出结论的时间，这就是思考的性质。"}],[{"start":139.83,"text":"再往后，如乘方，开方，阶乘，三角函数，对数，微分，积分，各种数学定理，都是人类针对较复杂问题的巧妙解决方法，它们的速度比掰手指头快得多，因而更为经济。然而，这些所有看来很复杂的计算，都可以还原为掰手指头，只不过速度奇慢无比。不过如果我们假设有一种掰手指头的方法速度极快，例如一秒钟内掰一亿次手指头，可能不需要用上述各种方法，计算速度却快于人类用这些计算方法，算不算会思考呢？其实，计算机就是这样一个速度极快的掰手指机器。它的基本数据形式是二进制编码，它用比十进制更简单、却更多计算次数的方法获得更快速度，用此表示数字的，图像的，文字的各种信息，虽然它也使用各种较高级算法，但在许多情况下，它的策略就是大量地快速重复某一动作，被数理逻辑学家看作是“机械地”，这很类似于掰手指。不管算法有多高级、复杂，都可还原为掰手指头。如果进行这些高级计算是思考，那么，在功能意义上，掰手指头就是一种最基础或“最笨拙”的思考。"}],[{"start":209.89000000000001,"text":"例如，阿尔法围棋对每一着棋的计算方法是，对每一种可能着法以及对方的每一可能应着，都试走一遍，如此一直试走到棋局终局，再根据不同终局的优劣选择那个最优的着法；因计算数量巨大而不得不用蒙特卡洛随机方法使每轮的试错数量大为减少，并进行海量迭代训练，这种作法基本上就相当于掰手指头。而在李世石这一方，他的大脑不容他对每一种可能的着法、及对手每一种可能的应着都模拟地试走一遍，再从中选择最优的着法，因为这与掰手指头一样，要耗费大量时间和脑力，而且速度极慢。他的方法是，他在学棋过程中逐渐掌握的最有可能是“好棋”的几个点中选择，在脑子里模拟试走几个备选的对弈方案，并且只是有限的若干（十）步，最后选择那个结果最优的。为什么阿尔法围棋比李世石更强呢？因为李世石学到的有关围棋的知识，是世世代代前人在他们下棋过程中积累的经验，但所谓“世世代代”并没有多到穷尽棋盘上各种可能走法的程度，他们积累经验的“好棋”只占理论上的“全部好棋”的一小部分；但因为他们的目的就是尽量减少最优走法的选择空间以节约时间和脑力，他们就可能把他们没有经验到的好棋排除在外了。而迅速进行“遍试”的人工智能却不太可能遗漏。"}],[{"start":290.23,"text":"二、思考就是用巧妙方法节约掰手指的时间"}],[{"start":294.97,"text":"那么，问题来了。如果说“更聪明”意味着比别人能更快找出正确答案，或能找到更优的应对着法或方案，那么阿尔法围棋比李世石更聪明；如果说掰手指不算思考，而比掰手指复杂的方法是思考，那么李世石会思考，而阿尔法围棋不会思考。结论是，人工智能虽然“聪明”，但不见得会思考。而如果掰手指头也是思考，则人工智能思考的方法虽然很笨拙，但从结果看在特定领域显得比人类聪明。然而无论怎样，我们大概可以认为掰手指头是最初级的思考，现在的问题就转化为，什么是较高级的思考？"}],[{"start":335.09000000000003,"text":"我们前面用数学作例子，可以扩展为对一般思考的讨论。数学就是精确的思考，而一般思考就是不够精确的数学。抽象地说，思考就是探讨因果关系。比如掰手指头的加法是，如果在二的基础上再加上四，结果是多少？在这里，所谓“因”，包括既有的事实，即有一个二和四，及其变化，即相加；所谓“果”就是结果。这种因果关系在其它各种较高级的数学算法中的性质是一样的。只不过，当人们觉得这种掰手指头算法过于麻烦和缓慢，动脑筋想一下更简单和有效的方法时，他们是在利用在因果之间的巧妙关系。例如，九个四是多少？因为所有的四都相同，不用九个四逐个相加，而直接相乘，四九三十六。这比加法要快，更比掰手指头要快。因而，较高级的思考只是相对于掰手指头，用更为巧妙的方法节约掰手指头的时间和成本，达到与掰手指头同样的结果。各种更高级的数学算法也是如此，就不一一列举。"}],[{"start":403.82000000000005,"text":"更一般地，形而上地，我们想象宇宙间充满了各种因果关系，在传统中国，它们被称为“道”，它们隐藏在无数可能性之中，我们的任务是把它们找出来，但因为我们并不知道它们具体在什么地方，只能靠随机地试错。而要试错，最稳妥的方法就是“遍试”，就是把所有可能选择逐一试过。这相当于掰手指头。但遍试谈何容易，因为这意味着要测试亿万次，而对于人类来说，这无异于掰手指头计算天文数字。这是成功率极低的，且没有足够的时间，基本上是不可能的。人类要做的事情是，一方面，尽可能地去试，并将试错的结果与原因相对应，寻找两者之间的关系。在这时人们并不是要找到一个问题的最优解，而是发现两种选择之间的更优者。如此经过较长时间的试错和探索，逐渐改进他们的选择，使之接近最优。另一方面，人类还要发现更好的数学算法——思维方法，以节约掰手指头的次数。"}],[{"start":469.01000000000005,"text":"三、节约思考时间的一个方向是减少可能选择的空间范围"}],[{"start":474.31000000000006,"text":"在宇宙无数的可能性中找到道，可以有两个方向。一个是减少可能选择的空间范围，一个是在可能选择空间中采用减少掰手指头的次数的巧妙方法。这两个方法都可以使人们较快达到在可能选择中找到道的结果，因而也可以称为“思考”。"}],[{"start":493.4200000000001,"text":"减少可能选择空间的第一个方法就是，粗略地看，在所有可能选择中，是否存在着不需要试错的选择，把这些选择剔除出试错范围，就会减少试错次数；即事实的哪些部分不需要思考。这就是“重要性”的判断。怀特海在其《思维方式》第一章“重要性”中说，“我们由于有一种重要性的感觉而全神贯注。”（2010，第8页）“集中注意意味着不顾不相关的东西，而这种不顾只能以对重要性的某种感觉来维系。”（2010，第12页）对重要性的判断使得人们注意什么和不注意什么，而不是对宇宙作全方位的观察和试错。这就节约了大量试错的时间和精力。例如围棋虽然有361个落子点，却不是每个点都有同样的重要性，有些点就根本没有重要性。受过训练的人类棋手很自然地排除大部分点，就是为了节约在头脑中“试走”的次数和时间。而这种作法大致是有效的，只是阿尔法围棋扩展了可能重要的范围，在人类棋手已经排除的点上发现了更好的着法。即是说，重要性选择可能会把最优的可能排除出去，却会保留较优的可能。"}],[{"start":568.45,"text":"重要性还是有层次的，人们可以依据重要性的优先顺序决定投入的关注多少。比如涉及生命危险的事情要排在涉及财产危险的前面，占据更多的关注资源。在重要性差不多的情况下，更精细的方法就是发现事物发生的概率。这存在于大量的民间经验之中，体现在谚语之中。如“早霞不出门，晚霞行千里。”“青蛙叫得响，必有大雨降。”由此判断是否有雨，而不用天天带着雨伞。数学的概率论发展得更为精细，它可以通过统计得出某一事物的概率分布，人们可以根据概率分布决定他们投入的资源多寡，而不需要全面投入，事事关注。如已知人的脚的大小服从正态分布，制鞋商就可以大致根据这个概率分布预制各种尺码相应数量的鞋以供销售，而无需考虑超出这个范围之外的尺码。怀特海说“重要性”就是思维方式第一等事情，意思是说，思考首先要做的事情就是将不需思考的事情排除在外，考虑什么是值得思考的事情，以及值得投入多少关注资源。即使这种重要性选择有可能遗漏更优的选择，权衡一下其所节约的试错次数和时间，也是值得的。"}],[{"start":646.51,"text":"减少可能选择空间的第二种方法是抽象。抽象起源于类比。类比就是发现两件事物之间的相似性，抽象就是发现多个不同事物的共通性。将多种不同事物的共通性放在一起叙述，并发现这一共通性的特质，就是抽象。例如“绿色”是对不同绿色事物的抽象。再如将众多不同事物的“温暖”“光亮”的性质抽象出来，得出“阳”的共通性。当人们抽象地思维时，他们就在“合并”所思考的对象，就在减少所思考的可能选择数量，不必一件事物一件事物地去掰手指头。因而抽象就是在简化思考，而这种简化不是简单，而是更高级的思维形式。怀特海说，“有限的人类理解的进步依靠某些适当的抽象以及这种抽象中思维的发展。”（2010，第53页）其中一个原因就是抽象减少了试错的次数。"}],[{"start":704.54,"text":"将重要性选择和抽象这两种方法结合，就是对事实对象的选择。这种选择，到了科学家这种专事思考的人这里，就更为注重其经济性。彭加勒说，“由于事实的数目实际上是无限的，我们不能了解所有事实。选择是必要的。”（2010，第20页）因为“科学家相信，事实有等级可寻”（2010，第21页）那么如何选择呢？首先要选择多次重复的事实。彭加勒举例说，如果元素不是60种，而是600亿种（2010，第22页），每种元素的发现就只能解释很少的事实，那就不够有趣，也没有效率了。而能够多次重复的事实的显性特征就是其简单性。一个基本的逻辑是，复杂的事实出现的概率就会较低，简单的事实容易出现，因而会多次重复。当然科学家也可以通过想象让事实变得简单。有两个极端的情形，一个是极端大，一个是极端小。彭加勒举了天体运行的例子，也举了原子的例子。在前者，由于遥远，星球只是一个质点；在后者，原子或细胞也是彼此相似，这大大简化了对复杂事物的研究（第23页）。这种方法是对宇宙万物作为观察研究对象重要性的取舍，也是对异类事物的共同性的抽象。"}],[{"start":792.41,"text":"减少可能选择空间的第三种方法是分类。将浩瀚无垠、纷繁复杂的宇宙分类，在每一个类别中，可能选择空间就会变小。人类很早就学会分类。如在古中文的创造中，人们就按照事物的分类创立部首，用草字头代表花草，木字旁代表树木，犬字旁代表野兽，石字旁代表矿物，金字旁代表金属，言字旁代表与语言有关的事物，提手旁代表用手作的动作；等等。近代以来，西方科学家对事物进行了更为细致全面的分类，如林奈的植物分类法，门捷列夫的元素周期表，依据基因序列的生物分类，等等。分类不仅极大地减少了在类别内的可能选择数量，而且也极大地降低了关系复杂度。这使得在近似的情况下类别内的性质或因果关系不会偏差太大。以分类为基础的现代科学，虽然因忽略类别外环境使其在类别内的结论不能适用于更一般的情境（怀特海，2010，第64页），但终究取得了巨大的成功。实际上，分类是自然选择的结果。康德将范畴看作人的一种先天知性能力。现代脑科学发现，分类是人类视知觉的一种重要“技巧”。人工智能专家李飞飞说，“视知觉依赖于分类。我们的大脑自然而然地将我们所看到的细节归类为更广泛的概念，如物体，人物，地点，事件等。”“分类的能力赋予了我们难以估量的力量。”（2024，第172~173页）这就是通过脑神经元的分工，将视觉识别的可能选择减少，以节约搜索的次数。"}],[{"start":896.3,"text":"当然，在分类的基础上，打破类别界限，发现不同类别的共通秩序，进行更高级的抽象，也是一种思考经济。彭加勒说，“科学进步正是由于它的各部分之间未曾料到的结合引起的。过分专门化便会妨碍这些结合。”“过去的最大进展发生在这些学科中的两个结合之时，发生在我们开始意识到它们形式的类似性而不管它们内容的差别之时，发生在它们相互之间如此模仿以致一个获胜而另一个也会受益之时。”（2010，第39页）这是由于，用一个共通的规则来解释不同类别的现象，显然节约了思考时间。例如在物理学中，“具有最大效益的事实是进入十分普遍的定律中的事实，由于这些事实能够使我们根据定律预见大量的其他事实”。（2010，第31页）而无需重新分析和计算。"}],[{"start":951.05,"text":"因而，思考的前提是，简化问题，缩小关注范围，减少可能选择的数量，使得人类的理性能力能够适应对问题的解决。因而，这些方法，发现重要性，抽象，分类，和打通分类，本身也就是思考。"}],[{"start":966.79,"text":"四、习惯收敛和随机探索"}],[{"start":970.0699999999999,"text":"其实，重要性不见得是一种理性的选择，而是一种习惯。即从前辈那里继承的传统。这是因为较远偏离正确选择的行为早就因为自然选择而被淘汰了。例如人们不会在冬季播种，因为这样做的人或者改变了播种时间，或者已经灭绝了。经过世代接替，不知不觉地，人们的习惯越来越接近使他们能够生存所需的状态。因而人类的习惯已经排除了大量的可能选择。这在前现代的社会中表现得非常充分。当时无论是技术还是制度，基本上是习惯所致。因而，习惯可以被视为人类早期的试错过程的收敛。它一方面以极小的概率发现更好的行为，一方面，更为重要的是，淘汰掉大量无用或有害的行为选择。如无论东西方的医疗，在早期主要依赖于草药系统。现代生物学观察已经发现，一般哺乳动物也会在病伤时，咀嚼某种植物来医治。人类的医药习惯显然是经过世代经验的积累和试错而形成的。在制度上的例子，就是习惯法。它是由人们之间的长期互动磨合而成的。在中国，它叫“礼”；在罗马，叫“市民法”；在英格兰，叫习惯法。由各种习惯法，最终产生了比较成熟的法律体系，如中华礼法，罗马法和普通法。"}],[{"start":1059.76,"text":"然而，尽管在习惯筛选以后，尽管人们使用各种方法减少可能选择的数量，也还是面临巨大的可能选择空间。人们也不能采取“遍试”方法，即也不能掰手指头。在这时人们采取的是随机试探。这是减少遍试次数的最基本的方法。这就如同阿尔法围棋采用蒙特卡洛方法减少发现“好棋”的遍试次数一样。要鼓励随机试探，就不能禁止人们的自由探索，仅应禁止那些被实践证明是坏的行为，如杀人，偷盗，放火，欺骗等等。因而“表达自由”，“人身自由”，“宗教自由”是重要的。除此之外，社会中也会发展出一种“冒险”精神，它是在人们知道存在着危险的情况下，仍觉得应试探某些行为。还有“价值”观念的扩展。他们可能出现了审美的感觉，认为是这与吃饭穿衣类似的需求，于是进入了艺术领域。这些探索扩大了探索的空间，使得隐藏在新空间中的更优选择能被发现。人类历史实际上是在大量随机行为中发展起来的。他们一开始就是漫无边际地随机的试探，通过对试探的结果进行观察总结，得出什么是好的行为。试探的次数越多，范围越广，发现好的行为的概率越高。"}],[{"start":1144.05,"text":"在通过试探获得结果反馈以后，更重要的工作就开始了。这就是在因果之间建立联系。如火可以加温。雄雌交配可以繁殖。又如什么时候播种。人们最初肯定是在不同的时间进行了播种，经过较长时间的经验，最后得出最佳的播种时间。这包含在农谚中。如在华北地区，“九九加一九，耕牛遍地走。”“谷雨前后，种瓜种豆。”甚至更沉淀在二十四节气之中。如“雨水”，“惊蛰”，“谷雨”，“芒种”等。等等。这是一种比较简单的因果关系。它们是众多随机的观察和试错所得出的结果。在认识和坚持好的行为的同时，人们更多地摒弃了无用的或坏的行为，使他们的行为更为收敛。"}],[{"start":1198.57,"text":"在经过长期的试错信息的积累以后，人类对宇宙的认识上升为系统性的认识，开始用较为复杂的体系性理论来解释自然系统。这时的试错方法虽然较初级认识复杂得多，但仍没有脱离随机的形式。只是其随机的试错不是直接表现为行为，而是表现为不同的理论。理论是对行为的模拟，但可以节约大量时间。例如关于宇宙体系，古往今来人们提出许多不同的解释，即不同的宇宙体系模型，无论是盘古开天，巨龟驮山，耶和华创世纪，还是托勒密体系，哥白尼体系，牛顿体系，辨别它们优劣的是它们的解释力。从长程历史来看，这些不同的宇宙模型不过是随机地提出的对宇宙因果关系的猜想，最终人类会选择最有解释力的那个，当然不必是最优的或最正确的。据伯纳德∙ 科恩，哥白尼所提出的宇宙模型并非是正确的，他的《天体运行论》应该翻译成《论天球的运转》。而“天球”是可以嵌入行星的东西，是它的运转带着行星运转（1992，第107页）。"}],[{"start":1267.3999999999999,"text":"五、现代科学是在对简单系统的随机探索中发展的"}],[{"start":1272.2499999999998,"text":"所有现代科学似乎都是以此形式而发展起来的。与以前的随机试错不同的是，科学家们的试错是有目的的实验设计，可以在可能的选择周边不断重复许多次，从而加快了对更优解的发现。现代科学是在可控条件下的不断重复的实验中前进的，同时也是在众多假说的竞争中前进的；严格地说，是卡尔•波普尔提出的“可证伪的”假说。可证伪意味着存在着理论所欲解释的事实，事实可证明理论为假。这就是一个可以检验的因果关系。直到被证明为假之前，一个理论就应被视为正确的。近代以来实际上出现过无数假说，只不过绝大多数假说缺乏说服力或解释力，没有引起关注。而被称为“革命”的假说，则是因其超强的解释力而引人注目。实际上它们是“一将成名万骨枯”，在无数假说的尸体旁加官进爵。"}],[{"start":1331.7899999999997,"text":"而近代科学的成功还有赖于它们研究对象的相对简单性，即是其复杂性在有机物之下的东西。如物体的简单运动，天体运转，分子或原子的结构，等等，在这种情况下可能选择的数量相对较少，随机选择的成功率较高。至于生物或社会，它们是复杂系统，纵然有许多相关假说，但与复杂体系的可能选择空间相比，却还是极端稀疏，成功率很低，或者说成功希望渺茫。"}],[{"start":1361.2199999999998,"text":"六、以勾股定理和π为例看巧妙方法的发展"}],[{"start":1365.3999999999999,"text":"当然在有关简单系统的科学进展中，也只是与复杂系统相比可能选择空间较小，却也还是非常巨大。在这时，简化问题，减小掰手指头次数的方法创造也还是非常重要。那些成功的科学家也并非撞大运者，他们有着超人的智慧，奇绝的思路，深厚的科学技艺功底，或者善于借用他人的方法成果，也才能成就功业。在这方面的发现也和对因果关系的一般发现类似。只不过这是对形式的因果关系的发现。例如勾股定理，就是巧妙地发现了三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。这是怎么发现的？关于勾股定理——在中国最早叫商高定理，在西方叫毕达哥拉斯定理——的最初发现，已无从查考。但是我们可以猜测，这是在无数次实地测量中偶然发现的一种奇妙性质。"}],[{"start":1421.1499999999999,"text":"后来对勾股定理的证明则是有记载的。欧几里德在《几何原本》中有非常详细的证明。究竟他怎样发现这一证明的，我们无从知晓。据说到现在为止有成百上千种证明方法。这说明欧几里德的证明是偶然发现了其中的一种。几何证明的一种非常有效的方法就是“穷歇法”，就是在欲证明的对象旁边不断地逼近。如欲求圆的面积，就在圆内构造一个内接正方形，然后将边数翻倍为八边，然后再翻倍，如此持续下去，直到最接近圆（Dunham，2013，第32页）。应该说，这是对偶然经验的性质的理性逼近。其基本依据是一种价值判断，即一种状态比另一种状态要好——多倍边数的内接多边形的面积比较少边数的内接多边形的面积更接近圆的面积。这似乎也是一种类似掰手指头的方法。当人们根据这种穷歇法得出圆周率，发现圆的面积公式时，计算圆的面积的速度就快得多。然而不容否认，穷歇法仍能计算圆的面积。只要穷歇的速度足够快，也能快于根据面积公式的计算。"}],[{"start":1495.62,"text":"我们想象欧几里德也是用穷歇法发现了证明勾股定理的方法。不过在这时，他已经在之前的探索中，用穷歇法证明得出一些基本定理后，证明勾股定理就变得更简单了。这时欧几里德应用了《几何原本》中的命题1.31，命题1.14，命题1.41，和命题1.46（Dunham，2013，第55~56页）。正如人们用穷歇法知道了圆周率，算圆的面积更简单了一样。我们可以想象，人类关于数学的知识就是利用穷歇法或掰手指头的方法建立起来的。他们在这一过程中，发现了一些节省穷歇或掰手指次数的性质，这些性质累积起来又可以为以后的证明或计算节省时间和精力。而虽然以后发现的这些数或图形之间的奇妙性质可以节省穷歇或掰手指次数，但它们是依赖于这种“笨拙”方法而被发现的，并且也只有被穷歇或掰手指证明是对的时候，才能声称自己是正确的。 这更突显了遍试或掰手指头方法与以后较高级的数学方法——思维方法之间的关系，它们可以得出同一结果，但后者会依据前者而发现节省遍试次数的巧妙方法，而其正确与否视它与前者的结果是否一致。"}],[{"start":1572.1299999999999,"text":"那些所谓“巧妙”的方法，一般是因为所要计算之数具有一些特点，或者是同样的数和同样的计算方法重复的，如乘法，乘方；或者是以一定规则排列的，如阶乘，各种级数；或者是两种或多种变量之间存在着对应关系，如三角函数，对数；等等。还有许多更为高级或深奥的数字特性，可以用来便利和节约计算次数。所有这些数学方法，都有一个作用，那就是简化计算。从加法到乘法是如此，从阶乘到级数也是如此。三角函数是从已知的边算出未知的角的简便方法，对数是数字巨大的求幂运算的逆运算，可以极大减小所运算数字的绝对值，从而减少计算和存储的量，还可以将较复杂的运算（如乘法）转换为较简单的运算（如加法）。在几何证明中，经常出现的是将较难计算周长和面积的图形（如圆）证明为与较易计算的图形（如三角形或正方形）相等或接近（如多边形），以简化计算。"}],[{"start":1636.62,"text":"我们可以从对π的精确值的逼近来发现，人类运用掰手指的方法和巧妙算法的交替使用。在阿基米德用穷歇法——不断增加圆的内接正多边形的边数达到96边算出当时领先的π值以后，西元150年托勒密沿用这一方法算出360边的π值；16世纪末，弗朗索瓦 ∙ 韦达将边数增加到393216；17世纪卢道尔夫∙冯瑟伦进一步增加到4610000000000000000条边；17世纪末，莱布尼兹发现一种级数可以收敛为π/4，求π方法就从阿基米德的多边逼近法改变为求级数的“简单算术问题”，这是简化问题的巧妙方法；而由于这种级数收敛太慢，18世纪时亚伯拉汗 ∙ 夏普和约翰 ∙ 梅钦对“无穷级数做了巧妙修改，并产生了计算速度快得多的收敛级数”，将π的精确值推进到了小数点后的71位。沿用这一方法，19世纪末谢克斯“计算出有707位小数的π值”；1947年，伦奇将小数位增加到808。在计算机发明以后，在这些巧妙方法的基础上，又加快了掰手指的速度，1966年，小数位增加到25万位；80年代末，更高达5亿位（Dunham, 2013，第118~124页）。可以看出，在追求π精确值的过程中，人们是用掰手指方法和巧妙方法交错使用。在掰手指的速度加快时就掰手指，在巧妙方法减少了掰手指次数时就用巧妙方法。"}],[{"start":1729.6799999999998,"text":"七、数学方法简化了物理学的工作"}],[{"start":1733.2899999999997,"text":"当然，数学要“有用”，就要与经验的科学结合。一个最初的结合就是与物理学结合。这种工作通过开普勒，笛卡尔和牛顿的努力，得到了极大的进展。笛卡尔说，“只有通过数学才能获得真正的物理学知识”，“在物理学中，除了应用几何学和抽象数学外，不需要也不应该使用其它的原理，因而通过数学，所有的自然现象都能得到解释。”（转引自科恩，1992，第156页）物理学经验和实验借助于数学——一种简化和减少了计算次数的方法，变得简洁易懂，计算方便，也就极大地促进了物理学的发展。而物理学本身也有其通过实验发现的物质特性，从而简化了对物质体系的理解，如元素周期表的发现，显然简化了人们对纷繁复杂的大千世界的理解。总而言之，与数学一样，物理学的数学公式就是在现实工作中的简化计算的方法，对于各种不同的具体情境，同一物理公式一样适用。如两个物体，无论是两块石头还是两个星球之间的引力，都服从引力公式：F = G(m1 m2)/r2，即两个物体之间的引力与两个物体的质量成正比，与距离平方成反比。"}],[{"start":1808.9899999999998,"text":"因而“思考”可以被认为是节约最笨拙思考的次数的方法。只是这种方法在数学中最为显现，而在不那么精确的其它思考中也会有类似例子，只不过不像数学那样醒目和容易援引。而数学，据康德，就是形而上的，就可以不从经验中得出，纯粹通过理性而加以挖掘。在这时，形而上的，内省的，发现节约笨拙思考次数的方法也可以被视作一种思考。形而上思维可以超越经验限制，从而可以大到无限，而能整合宇宙万物于一统，是对计算次数的最大节约。例如公式eiπ+1=0，就是一个极具涵盖力的公式。它是“集数学中最为重要的5个常数于一身的公式，……0和1所代表的算术，i 所代表的代数学，π所指代的几何学，以及e 所代表的分析数学。”（Maor, 2010,第180页）而物理学也借助了人脑的先天综合判断能力，提出一些形而上的假设，如惯性定律，能量守恒定律，作用与反作用定律，和万有引力定律，等等，极大超越了人的感官经验范围，而将在此之外的宇宙包括进来，将有限推广到无限，将经验之规模扩展到想象之规模，而“无限”是无法遍试的。这就简化了人类对宇宙的理解，并将宇宙统一为一个规则支配下的整体，也便于理性的把握。例如爱因斯坦提出的质能转换公式，E = mc2，是涵盖宇宙所有能量和物质的公式，人们无需对地球和万亿光年之外的星球有所区别，而可以用此公式一以贯之。"}],[{"start":1906.5699999999997,"text":"八、直觉或顿悟、形而上的或宗教的思考方法"}],[{"start":1911.1699999999996,"text":"当然，借助数学要求定义清晰，关系简单，因果明确，简单系统符合这种要求。但复杂系统则未必。虽然现在的生物学（对应于生物系统）和经济学（对应于经济系统）在一定程度上应用了数学，但只是在一些局部上的应用，而对于它们的理论基础，如生物演化理论或市场价格理论，则仍是经验的产物和形而上的抽象的结合物。如“生存斗争”为基础的变异与自然选择理论，是达尔文作环球旅行时经验的生物状况所反映的因果关系的提炼，把它一般化，作为生物演化的一般规则，则是形而上的抽象。经济学所揭示的因果关系更是人的经验，因为经济学家就是人，他们直观地感受供给与需求和价格的关系，这些关系可以用数学表达。然而超然于供求关系，经济学家的一般假设，稀缺性，虽然是能从经验中感受，但作为整个经济学奠立的基础，也只能是形而上的原则。再一般地，遵从自然秩序，则是经济学的超然原则。形而上的或超然的原则，也就是最抽象的原则，它们可以用于对整个宇宙规则的概括，因而也是最为节约计算次数的思考。"}],[{"start":1985.7499999999995,"text":"广义地，如果将思考视为导致知识增加的一种精神现象，直觉和顿悟也可称为思考。一些科学家，如彭加勒，曾讲述过他们的科学发现的过程。一方面，他们有对“数学秩序”的“感觉”，“这种直觉，使我们推测隐藏的和谐与关系。”（2010，第48页）这是在“无限的”数学的新的组合中，径直发现“有用的、为数极少的组合”，因而“发明就是辨别、选择”（第48~49页）。这种直觉是一种“雅致感”，“这种美来自各部分的和谐秩序”（第25页），正是对这种美的追求，“才使我们选择那些最适合于为这种和谐起一份作用的事实”（第26页）。彭加勒进而说道他发现某数学定理的过程：他连续15天坐在办公桌前，却一无所获，偶然一天他喝了黑咖啡，夜不能寐，却思如泉涌，第二天就得出了结果（2010，第50页）。他的解释是，在人们放松或休息时，无意识的或阈下的工作正在运行，“它在短时间内能够做出的各种组合比有意识的自我整个一生能够完成的还要多”（第56页），其中绝大多数组合不会被感知，“只有某些组合是和谐的，从而同时也是有用的和美的”（第55页），会触发科学家的审美意识，使其顿悟。我需要补充的是，这种无意识的组合是随机的，而不是逐一遍试的，这很类似于高速遍试。"}],[{"start":2072.1099999999997,"text":"再进一步，人们对许多更为复杂的事物，更为具有不确定性，也希望从中发现因果关系。如某球队穿红袜子赢球的几率大一些，他们就会认为红袜子与赢球之间有因果关系。以后再比赛时，就穿红袜子。这当然也是思考。思考就是要发现两件事物之间的因果关系，而不在乎是否准确。越是复杂事物，发现其因果关系越是困难，可能选择的数量越多，就越难发现它们之间关系的巧妙方法。在这时，所谓“巧妙”方法，就是简单地假定因果关系，其结果可能比没有假定要好一些。因为这至少提供了一个比较自信的心理，对于比赛是有好处的。即使在实际上，这种假定因果关系的结果是好坏参半，人们也会坚持下来，除非出现重大负面的结果。就如笛卡尔曾说，“在无法分辨哪种看法最正确的时候必须遵从或然性最大的看法”，并果断坚持下去（2000，第59页）。类似地，那些宗教经典所叙述的宇宙起源、人类起源或其它宗教规则，不少是无法验证的，但不妨碍人们去相信它们，而且会带来较好的心理体验，也可视为是一种由于过于复杂而无法精确计算、且简单假设的思考。"}],[{"start":2152.2899999999995,"text":"当人们将对各个方面、领域和维度的抽象推向极致，将可经验的有限范围内的因果关系推向无限，还可以进行进一步的抽象和整合，这就是全能神的想象和创立。全能神就是将各个方面、领域和维度的因果关系整合于一身，把它当作宇宙万物的唯一初始原因。如果说在单一领域，如物理领域从抽象到形而上一般规则的提出极大简化了人们遍试或掰手指头的方法，神的概念的提出更是在高几个数量级的层次上的抽象和简化，并且将不同领域、方面和维度的形而上规则统一在一个规则之下，使它们之间不相矛盾。笛卡尔说，“一切意志活动、理智活动、想象活动和感官活动都是思想。”（2000，第123页）因而全能神的概念是人类创造的最为高妙和最有效的思考方法。"}],[{"start":2204.2499999999995,"text":"九、结语"}],[{"start":2206.0699999999997,"text":"总而言之，思考是一种在众多可能选择中发现最佳选择的方法，它的目的既然是发现最佳选择，具体方法视情况而定。如果可能选择的数量不大，可以从容地进行遍试——掰手指头；在掰手指头的次数既定的情况下，也可以探寻巧妙的方法减少遍试次数；如果掰手指头的速度可以加快，以致可以超过较“高级”的算法时，可以直接掰手指头；在可能选择数量巨大时，可先期进行重要性判断，抽象和分类，以减少可能选择数量；为了对可能选择的优劣进行判断，要先进行随机选择，再根据它们结果的优劣得出重要性的排序和价值的概论分布，这帮助以后对可能选择范围和部分的取舍，以减少可能选择的数量，节约选择的时间；形而上的思维是一种高度抽象的方法，它可以依赖于先天综合判断将一种规则推向经验之外，而统摄整个宇宙，它比一般的抽象更能节约遍试的次数。在人类的较高级的思考中，即科学的思考中，往往是形而上的思维所提出的一般原则——公理，与对自然事物的观察结合起来，形成了一种涵盖宇宙的、且对实际事物有解释力的科学理论，就如牛顿提出的宇宙模型一样。"}],[{"start":2279.24,"text":"最后，我们还要讨论一下有关思考的最重要的问题，即思考的动力从何而来。有关功利目的的说法虽然似有道理，但不是思考的最高的和最终的动力。如果只是为了功利目的，思考只是作为工具。一旦目的达到，它就会被放下或抛弃。如果把思考作为一种专业，作为一种生活内容，或作为一种享受的话，它的动力必然超越功利目的。一般而言，这个动力就是兴趣，或好奇心。有研究指出，推动那些杰出思想者的动力首先就是好奇心。而好奇心好奇什么？彭加勒说，“科学家研究自然，并非因为它有用处；他研究它，是因为他喜欢它，他之所以喜欢它，是因为它是美的。如果自然不美，它就不值得了解；如果自然不值得了解，生命也就不值得活着。”（2000，第25页）笛卡尔说，“我思故我在”；而“在”和“思”的前提是宇宙之美；如果宇宙不美，“思”是不值得的。因而，美，是思考的动力；对美的欣赏则是更高阶的思考。"}],[{"start":2347.12,"text":"参考文献"}],[{"start":2348.7599999999998,"text":"Dunham, William, 《天才引导的历程：数学中的伟大定理》，机械工业出版社，2013。"}],[{"start":2356.3399999999997,"text":"Ell Maor, 《e的故事》，人民邮电出版社，2010。"}],[{"start":2361.2699999999995,"text":"笛卡尔，《谈谈方法》，商务印书馆，2000。"}],[{"start":2365.2999999999997,"text":"怀特海，《思维方式》，商务印书馆，2010。"}],[{"start":2369.7799999999997,"text":"科恩，伯纳德，《科学革命史》，军事科学出版社，1992。"}],[{"start":2375.3999999999996,"text":"李飞飞，《我看见的世界》（电子版），中信出版集团股份有限公司，2024。"}],[{"start":2382.0799999999995,"text":"马赫，恩斯特，《认识与谬误》，商务印书馆，2011。"}],[{"start":2387.0899999999997,"text":"彭加勒，《科学与方法》，商务印书馆，2010。"}],[{"start":2391.6,"text":"（注：本文仅代表作者个人观点。责编邮箱bo.liu@ftchinese.com）"}]],"url":"https://audio.ftmailbox.cn/album/a_1749791773_9572.mp3"}